Décembre 2014 No 14
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Les mathématiques en sciences de l’environnement
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La prévision en sciences de
l’environnement constitue un enjeu pour
plusieurs branches des mathématiques
appliquées. Quel impact le changement
climatique aura-t-il dans 100 ans ?
Comment le vent va-t-il disperser un
nuage de pollution ou une irruption
volcanique ? Un aménagement risque-
t-il d’avoir des effets environnementaux
importants comme par exemple l’effet
d’une digue sur l’érosion côtière ? Quelle
zone risque d’être inondée dans le cas
d’une crue d’une rivière ou comment
prévoir les meilleures zones de pêche en
fonction de l’évolution de la biomasse
océanique ?
Un bon nombre de réponses à ces
questions peuvent être apportées
en utilisant une représentation
mathématique de ces problèmes. Il s’agit
d’équations représentant les différentes
interactions entre les paramètres
physiques qui régissent ces phénomènes
naturels. Bien que ces problèmes soient
très complexes et de dimension infinie,
les approches mathématiques permettent
de les représenter en un nombre fini de
systèmes d’équations.
Prenons par exemple le modèle couplé
du climat qui permet de prédire
l’évolution temporelle du climat à partir
des équations représentant l’atmosphère
et son interaction avec les océans. Au
départ, on dispose d’équations de
dimension infinie qu’on ne pourrait
pas traiter par ordinateur. Le savoir-
faire d’un mathématicien consiste à
transformer ce problème en dimension
finie, toujours élevée, mais qui peut être
traité par ordinateur. Ceci passe dans un
premier temps par une discrétisation de
l’espace (par maillage, par exemple) en
tenant compte des différentes contraintes
de passage d’un milieu à un autre ainsi
que des propriétés physiques de chacune
des variables. Ensuite une analyse
de l’existence des solutions et leurs
approximations par le biais d’approches
numériques.
» Transition d’un processus de Markov
sur une variété de Riemann pour la
maximisation de la distribution a
posteriori d’un modèle Bayésien.
La difficulté pour un
mathématicien réside dans
la formulation théorique du
phénomène, la construction
d’approches numériques plus
précises qui fournissent une
bonne approximation des conditions réelles et qui sont efficaces d’un point de vue
de la résolution numérique, car le temps et les coûts de calcul pourraient être très
importants.
Le professeur Salah-Eddine El Adlouni du Département de mathématiques et
de statistique s’intéresse à la modélisation probabiliste des processus climatiques
extrêmes. Il s’intéresse principalement au développement d’approches spatio-
temporelles dans un cadre Bayésien pour la combinaison de l’information a priori
et de celle obtenue à partir des observations. L’implémentation de ces approches en
pratique nécessite le développement d’algorithmes puissants, comme par exemple les
algorithmes de Monte-Carlo par chaîne de Markov sur des variétés de Riemann.
» Distribution spatiale de
la pression atmosphérique
qui est un des paramètres
les plus importants dans la
prévision climatique
Afin de compléter ce processus de modélisation, plusieurs branches des mathématiques
sont considérées. Citons, par exemple :
• L’analyse fonctionnelle et les équations aux dérivées partielles qui permettent
de représenter les propriétés physiques, l’évolution du système et l’interaction
entre les variables;
• L’analyse numérique pour l’étude de l’existence des solutions et leurs
approximations;
• Les probabilités pour tenir compte de l’incertitude dans les prévisions et
la mise à l’échelle.
Un des grands défis de ces approches de modélisation correspond à la partie
calibration pour l’estimation des paramètres du modèle pour qu’ils correspondent aux
observations. Cette étape est connue également par l’assimilation des données. Il s’agit
de la reconstitution des données observées à partir de ces différentes sources et des
interactions entre les composantes atmosphériques ou océaniques. La validation de ces
modèles nécessite une analyse rigoureuse des équations de base.
