Décembre 2017 No 17
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Les carrés
magiques
Qui ne connaît pas les carrés
magiques? Ceux-ci étaient
connus des mathématiciens
chinois au moins
600 ans av. J.-C.
Une légende raconte que
le premier carré magique
aurait été trouvé sur une
tortue il y a environ
4 000 ans.
Prenons un carré composé de n x n entiers
naturels (comme par exemple, 3 x 3, 4 x 4, ou
encore 5 x 5) écrits sous la forme d’un tableau
carré. Ce qui en fait un carré magique, c’est
la propriété qui suit : lorsqu’on additionne
les nombres compris sur chaque colonne,
sur chaque ligne et sur chaque diagonale, on
obtient le même résultat. Cette somme est
appelée la somme magique ou la constante du
carré magique. Les nombres apparaissant dans
le carré magique sont appelés les éléments du
carré. Les éléments normalement utilisés pour
construire un carré magique sont les entiers
consécutifs à partir de 1. Dans ce cas, on parle
alors d’un carré magique normal.
Par exemple, le seul carré
magique 3 x 3 (à rotation ou
symétrie près) est celui-ci :
4 9 2
3 5 7
8 1 6
On
observe
que les
carrés
4 3 8
et
8 3 4
9 5 1
1 5 9
2 7 6
6 7 2
peuvent être considérés comme étant un seul
et même carré puisque le second est obtenu du
premier par une symétrie réflexive par rapport
à la diagonale 4 – 5 – 6, alors que le troisième
est obtenu du premier par une rotation
d’un quart de tour dans le sens contraire des
aiguilles d’une montre.
Si vous faites la somme des nombres se
trouvant sur chaque colonne, sur chaque ligne
et sur chaque diagonale, vous obtenez toujours
le nombre 15.
C’est donc un carré magique dont la somme
magique est 15 et ses éléments sont 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8 et 9. Remarquez que vous avez
obligatoirement l’entier 5 au milieu du carré
ainsi que les entiers pairs dans les coins.
Voici maintenant un
très joli et étonnant
carré magique 4 x 4 :
14 1 12 7
11 8 13 2
5 10 3 16
4 15 6 9
En faisant la somme des nombres situés sur
chaque ligne, chaque colonne et chaque
diagonale, on obtient 34.
Mais ce n’est pas tout !
Si vous prenez le petit carré
2 x 2 situé en haut à gauche,
à savoir le carré et que vous
14 1
11 8
faites la somme de tous les nombres,
vous obtenez également 34.
Il en est ainsi du carré 2 x 2
situé en haut à droite :
12 7
13 2
de celui situé en
bas à gauche :
5 10
4 15
celui en bas à droite :
3 16
6 9
et pour tous
ceux-ci :
1 12 10 3
8 13 15 6
11 8
et
13 2
5 10
3 16
C’est également vrai pour le carré
formé des 4 coins du carré :
14 7
4 9
Dans ce dernier cas, il ne s’agit pas d’une
propriété remarquable de ce carré puisqu’on
peut montrer que dans tout carré magique
4 x 4, la somme des nombres dans les coins
est égale à la constante du carré.
C’est encore vrai pour la somme
des 4 éléments du
carré central 2 x 2 :
8 13
10 3
qui est toujours égale à la
constante du carré.
Pouvez-vous trouver d’autres jolis ensembles
de 4 éléments de ce carré magique dont la
somme soit égale à la constante du carré ?
Il y en a plusieurs. On est donc en présence
d’un super carré magique. Ces carrés sont
parfois appelés carrés diaboliques.
Les carrés magiques 4 x 4 sont très nombreux.
En considérant comme équivalents les carrés
qui peuvent être obtenus l’un de l’autre
par une symétrie ou une rotation et en les
regroupant en classes d’équivalences, il y a
880 classes d’équivalences de carrés magiques
4 x 4 dont 48 sont diaboliques. Tous ces carrés
ont été étudiés et répertoriés par Bernard
Frénicle de Bessy, un mathématicien du
17
e
siècle. En augmentant la taille des carrés
magiques, le nombre de classes d’équivalences
augmente très rapidement. Il y a par exemple
plus de 275 millions de classes de carrés
magiques 5 x 5 (à comparer avec 880 classes
de carrés 4 x 4 et une seule de carrés 3 x 3).
À partir de ce carré, ou d’autres carrés
similaires, 4 x 4 ou 5 x 5 par exemple, on
peut fabriquer des carrés magiques ayant
comme constante magique un nombre
choisi aléatoirement, par exemple par une
personne dans un auditoire lors d’une
présentation sur les carrés magiques. Dans
ce cas, le présentateur qui ne connaît
pas d’avance la constante magique est vu
comme un vrai magicien. Ou plutôt comme
un « mathémagicien », un magicien des
mathématiques.
On peut faire des carrés magiques de toutes
tailles, voici un carré magique 7 x 7. Il s’agit
en fait de trois carrés magiques emboités les
uns dans les autres, un carré 3 x 3 dans un
carré 5 x 5 dans un carré 7 x 7. On appelle ces
carrés particuliers des carrés à enceintes.
1 41 39 38 5 4 47
***************35 6
***************16 7
42 32 29 25 21 18 8
40 31 24 23 28 19 10
2 15 17 20 36 37 48
3 9 11 12 45 46 49
En terminant, mentionnons qu’au fil de
l’histoire des mathématiques de nombreux
mathématiciens importants se sont amusés
avec les carrés magiques. Par exemple
Blaise Pascal a écrit un livre intitulé « Traité
des nombres magiquement magiques »
dans lequel il est question des carrés magiques
à enceintes comme l’exemple illustré ici.
Ce livre a été présenté à l’Académie des
sciences de Paris en 1654.
