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Andrew Wiles, en 1994, pour qu’une
preuve complète et finale soit obtenue.
Une partie importante de l’algèbre
moderne s’est développée au XIX
e
siècle
en mettant au point des techniques
pour résoudre ce problème. Le problème
résistait, mais l’algèbre se développait.
C’est là toute l’importance des problèmes
difficiles : les mathématiques se
développent en essayant de les résoudre.
En 1904, le mathématicien Henri
Poincaré énonçait une conjecture : la
sphère de dimension 3 est la seule surface
de dimension 3 qui soit simplement
connexe. On le savait déjà pour la sphère
de dimension 2 qui est la seule surface de
dimension 2 à être simplement connexe.
Cela signifie simplement que tout lacet
(chemin fermé) sur la sphère peut se
ramener à un point en se déformant
de façon continue (pas de coupure)
et sans quitter la surface de la sphère.
On voit bien si l’on remplace la sphère
par le tore, une surface qui ressemble
à un beigne ou à un pneu, que cette
nouvelle surface n’est pas simplement
connexe. Une partie importante des
mathématiques du XX
e
siècle s’est
développée alors que de nombreux
mathématiciens essayaient de résoudre
cette conjecture. La conjecture fait partie
de la liste des problèmes du millénaire
du Clay mathematical Institute. Elle
a été résolue affirmativement en 2003
par le mathématicien russe Grigori
Perelman qui a refusé tous les prix qui
venaient avec cette résolution incluant
le million de dollars. Il a indiqué qu’il
fait des mathématiques par plaisir et non
pas pour l’argent et les récompenses. La
conjecture de Poincaré est importante
car notre univers est probablement
une surface de dimension 3 et que
toute connaissance sur ces surfaces est
potentiellement une connaissance sur
l’univers lui-même.
Les mathématiciens sont fascinés par les
problèmes difficiles et les mathématiques
Les grands problèmes, même
lorsqu’ils portent sur des parties des
mathématiques ayant à première vue
peu d’applications, sont les moteurs
de la recherche en mathématiques.
Plus ils sont difficiles, plus ils résistent
longtemps, plus la stimulation est
grande et plus nombreux sont les
mathématiciens qui attaquent ces
problèmes.
À l’occasion, des mathématiciens dressent
une liste de problèmes importants pour
stimuler et orienter la recherche. Cela
a été fait notamment lors du congrès
mondial des mathématiques à Paris en
1900, alors que David Hilbert a dressé
une liste de 23 problèmes qui allaient
marquer toute la recherche du XX
e
siècle.
Cela a été fait de nouveau en 2000 par le
Clay mathematical Institute qui a dressé
une liste de sept problèmes, appelés
problèmes du millénaire, et a offert une
bourse d’un million de dollars pour la
résolution de chacun d’entre eux.
Un des grands problèmes qui a résisté
aux efforts des mathématiciens le plus
longtemps est le grand théorème de
Fermat. Nous savons tous qu’il existe des
triplets de nombres entiers positifs a, b et
c tels que a
2
+b
2
=c
2
.
On a par exemple 3
2
+4
2
=5
2
ou encore
5
2
+12
2
=13
2 .
Ces triplets sont dits
pythagoriciens car ils illustrent le
théorème de Pythagore. Mais si on
change l’exposant 2 pour l’exposant n,
où n est un entier supérieur à 2, le grand
théorème de Fermat dit qu’il n’existe
pas de tels triplets. Autrement dit,
l’équation a
n
+b
n
=c
n
n’a pas de solutions
en entiers positifs a, b et c si n est un
exposant entier plus grand que 2. Le
mathématicien français Pierre de Fermat
a affirmé avoir une preuve remarquable
de ce théorème en 1641. Cette preuve,
probablement incomplète à l’époque, n’a
jamais été retrouvée et il a fallu attendre
L’importance des grands
problèmes en mathématiques
Tout lacet sur la sphère se déforme continûment
en un point en restant sur la sphère.
Certains lacets du tore ne
peuvent se déformer en
un point sans quitter la
surface.
foisonnent de tels problèmes. Cela
est extrêmement positif car non
seulement ces problèmes amusent les
mathématiciens et les occupent, mais leur
résolution fait avancer les mathématiques
et toute la science. En fait, les efforts mis
pour résoudre les problèmes difficiles
sont souvent plus importants que les
problèmes eux-mêmes, car ils permettent
le développement de nouvelles théories
ayant des applications nouvelles et
originales.
»
Golf et mathématiques
Le professeur Samuel Gaudet du
Département de mathématiques et
de statistique a mis au point une
application pour le iPhone ou le iPod
qui combine les mathématiques et
le golf. Nommée iPerfectPutt, cette
application permet d’analyser de manière
exhaustive l’exécution des coups roulés,
y compris l’analyse du plan de l’élan du
golfeur, l’orientation de la face du bâton,
le point d’équilibre et le rythme du coup
roulé. L’application, suite à cette analyse,
fournit une rétroaction sonore en temps
réel qui informe le golfeur. Celui-ci
peut par la suite voir une simulation
graphique de son élan par vidéo.
Décembre 2012 No 12
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Du nouveau au Département
de mathématiques
et de statistique :
l