Comment fait-on parler les chiffres? Des jeux de hasard aux sondages d'opinion à travers le théorème

Invité par son collègue M. Simon Paquet dans ses classes de 12e année à l'École Secondaire de Népisiguit (ESN) de Bathurst, le Pr Jules de Tibeiro (secteur des Sciences, UMCS) a fait deux causeries scientifiques intitulées : « Les probabilités et l’induction statistique : le lien aléatoire entre un échantillon et la population » le mardi 28 novembre de 10 heures à 11 heures et de 11 h 10 à 12 h 10.

Au cours de sa communication dans la première classe (de 10 h à 11 h), le Pr Jules de Tibeiro a été heureux de partager sa joie avec ses auditeurs quelques grandes lignes de la STATISTIQUE : de l’histoire de la Statistique avant 1900 incluant sa ‘’préhistoire’’, la Statistique descriptive (XVIIe et XVIIIe siècles) et l’émergence de la Statistique mathématique avec la loi NORMALE) à la Statistique du XXe siècle incluant la Statistique inférentielle et l’Analyse des données.

Dans sa brève introduction, le Pr Jules de Tibeiro a rappelé que si le terme STATISTIQUE, lié à la notion d’ÉTAT, est relativement récent (issu du latin Statisticum, il apparaît à la fin du XVIIe siècle), l’activité de recueil de données (ou des STATISTIQUES) est très ancienne et répond aux besoins d’organisation et de gouvernement des grands empires : dénombrements liés en particulier, à l’armée, aux impôts et à l’estimation des richesses. Un exemple célèbre de la Statistique à retenir dans l’histoire : les recensements romains, connus, en particulier pour les circonstances de la naissance du Christ !

Parlant de la statistique descriptive, le Pr Jules de Tibeiro a précisé que si les mathématiciens arabes du XIIe siècle, en particulier les astronomes, utilisaient des tables à double entrée et même des graphiques de type polygonaux, il a fallu attendre l’introduction des coordonnées par Descartes (Cogito ergo sum !) dans la Géométrie en 1637.

La loi ‘’normale’’ fut au cœur de la causerie. Ici, le conférencier a insisté sur le fait que l’établissement, au début du XIXe siècle, de cette loi, dont l’usage est fondamental en Statistique, s’est fait par deux voies : celle, dans le cadre de la ‘’théorie des erreurs’’, de la méthode des moindres carrés, qui aboutit avec Carl Friedrich Gauss (1777-1855), et celle des théorèmes limites, avec l’énoncé d’une première version du thérème limite central par Pierre Simon Laplace (1749-1827).

Les probabilités et l’induction statistique : le lien aléatoire entre un échantillon et la population. Le conférencier signale ici qu’avec l’induction statistique, on quitte le domaine de la certitude. En effet, l’induction statistique a pour point de départ un échantillon, qui n’est qu’un des échantillons possibles qu’on aurait pu tirer de la population étudiée : si l’on tire d’une population donnée un échantillon d’une taille donnée, en suivant une procédure donnée, et si ensuite on recommence, l’échantillon obtenu au second tirage sera probablement différent du premier. Pour une population donnée, il y a donc un grand nombre d’échantillons possibles. L’ensemble des échantillons possibles forme aussi une population au sens statistique : les ‘’individus’’ de cette population sont les échantillons.

Partant d’un exemple avec une population de taille N, de moyenne et d’écart-type connus, en prélevant au hasard et sans remise un échantillon de taille n, le Pr Jules de Tibeiro a défini sans peine (c.à.d. dans la joie !) avec ses jeunes auditeurs toute une distribution d’échantillonnage incluant ses deux caractéristiques principales pour la moyenne et l’écart-type !

Quelle bonne aubaine de réaliser qu’une récréation mathématique (avec le calcul de la moyenne et de l’écart-type d’une population) débouche sur toute une procédure d’inférence statistique associée au théorème de la limite centrale, l’un des plus grands théorèmes de la Statistique !

Dans la deuxième classe (11h 10 à 12h 10), le conférencier a défini une ‘’passerelle’’ entre la statistique descriptive et la statistique inférentielle par une introduction de la notion de Probabilité. Il a fait comprendre à ses auditeurs à quel point la logique de la théorie des ensembles peut faciliter le calcul des probabilités des événements particuliers (événement certain, impossible, contraire, l’union et l’intersection de deux événements, événements compatibles, incompatibles, dépendants, indépendants etc.).

Il en a profité pour conclure que parallèlement à la statistique inférentielle, s’est développée l’analyse des données, branche de la statistique qui s’appuie essentiellement, non pas sur les modèles probabilistes, mais sur les représentations géométriques et dont le développement a été favorisé par l’algèbre linéaire et des moyens de calcul et de représentation informatiques.

Sondages et probabilités : comment fait-on parler les chiffres? Le Pr Jules de Tibeiro estime qu’on ne voit pas toujours l’utilité et les applications concrètes des mathématiques, souvent vécues comme une discipline rébarbative. Oui, les mathématiques peuvent être difficiles, abstraites et les élèves n’en voient pas toujours l’intérêt immédiat. Cependant tout n’est pas seulement question de calculs compliqués et désincarnés, de problèmes ‘’d’inconnu à ramener au connu’’. Les mathématiques peuvent aussi être abordées par le champ scientifique du recueil d’informations, de leur traitement et de leur interprétation : la Statistique et le calcul des probabilités, deux disciplines sœurs mais bien distinctes.

Là, les mathématiques sont déterminantes et l’enjeu facilement perceptible par les jeunes, que ce soit au travers des enquêtes, des sondages, des protocoles d’expérimentation (en médecine notamment), des jeux de hasard, du surbooking des avions, de l’évaluation des risques etc.

Autant de sujets où les mathématiques permettent de répondre efficacement aux nombreuses questions qui se posent. Mais quelles en sont les limites ? les difficultés ? les contraintes ? les différentes méthodes ? la fiabilité des résultats ? Ainsi donc, à travers les sondages d’opinion ou les probabilités qui servent à mesurer les risques, les mathématiques sont un instrument qui présente un intérêt immediat, et qui n’est pas toujours aussi désincarné et compliqué qu’on le pense. Tout est donc question de motivation et bien sûr de … pédagogie.

Le conférencier a gardé un excellent souvenir de ses auditeurs dont le premier contact avec le calcul des probabilités pourtant considéré souvent – à tort – comme la bête noire de cette discipline rébarbative à l’université ! Des classes conviviales et très vivantes avec des élèves coopératifs tout au long de la causerie scientifique. De la grande joie d’animer cette causerie scientifique au nom du secteur des Sciences de l’UMCS.

Le Pr Jules de Tibeiro adresse ses sincères remerciements à M. Simon Paquet de l’avoir invité à passer deux heures merveilleuses dans ses classes de 12e année. Une expérience à renouveler de tout cœur à l’automne 2007 !

Jules de Tibeiro, Ph.D.
Professeur titulaire
Secteur des Sciences
UMCS


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