Décembre 2016 No 16
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Un ruban étrange, celui de Möbius
Il existe une surface dans l’espace à trois dimensions n’ayant qu’une seule face (un seul côté). Il peut être difficile d’imaginer
une surface ne possédant qu’une seule face, mais en revanche une telle surface est très facile à construire, un enfant à la
maternelle peut le faire. Il suffit de prendre une bande de papier mince ou de carton léger de forme rectangulaire, de fixer
l’une de ses extrémités et faire subir une rotation d’un demi-tour (de 180 degrés) à l’autre extrémité. Ensuite, vous attachez
les deux extrémités ensemble à l’aide de ruban adhésif. Vous obtenez un ruban qui a la forme d’un cylindre tordu, appelé
un ruban de Möbius (mathématicien allemand qui en est l’inventeur et c’est sa plus célèbre invention). Ce ruban n’a qu’une
seule face; pour s’en rendre compte facilement, il suffit de le colorier pour s’apercevoir que l’on revient au point de départ
après avoir tout colorié sans avoir « changé de côté ». Cette petite expérience démontre que ce ruban n’a qu’un seul côté.
Ainsi on ne peut colorier un côté en rouge et un côté en jaune, car celui qui essaierait de le faire s’apercevrait que les deux
couleurs se rencontrent sur la même face.
Des applications intéressantes !
L’avantage de ce genre de ruban est
qu’il dure plus longtemps étant donné
que l’usure est également répartie sur
« chaque côté ». Plusieurs courroies
utilisées dans les usines ont la forme
d’un ruban de Möbius géant. On les
utilise également pour fabriquer certaines
cassettes d’enregistrement dont le ruban
a la forme d’une boucle continue dans
le but de doubler le temps d’écoute. Si
l’on vivait sur un ruban de Möbius, après
un demi-tour, on aurait la tête en bas,
ensuite la tête en haut et ainsi de suite.
Une voiture parcourant un ruban de
Möbius monterait et descendrait sans
cesse. Le plus long ruban de Möbius en
Amérique du Nord mesure 700 mètres,
et n’est autre qu’une montagne russe
dans un parc d’attraction aux États-Unis.
En outre, le ruban de Möbius est devenu
un symbole dans le recyclage (le logo
de matières recyclables est un ruban de
Möbius) représentant la transformation
des déchets en produits utiles et
réutilisables.
Des propriétés singulières et
étonnantes !
Si on découpe par le milieu (c’est-à-dire
selon un trajet tracé au milieu de la
largeur du ruban) un ruban de Möbius,
on n’obtient pas deux rubans comme
il serait raisonnable de penser, mais
seulement un. En effet, le ruban obtenu
est deux fois plus long et deux fois moins
large que le ruban original, mais il est
doublement tordu et comme il a deux
faces, ce n’est donc pas un ruban de
Möbius. C’est étonnant de voir qu’en
découpant cet objet mathématique en
deux, on n’obtient qu’un seul morceau.
Ce n’est pas le nombre de morceaux qui
double, mais bien le nombre de faces.
Maintenant, si vous découpez un ruban
de Möbius selon un trajet tracé au tiers
de sa largeur, le découpage réserve toute
une surprise. En effet, vous obtenez
deux rubans entrelacés (enfilés l’un dans
l’autre) comme les mailles d’une chaîne.
On ne peut les détacher sans briser l’un
d’eux. L’un des rubans est un ruban
de Möbius et l’autre un ruban à deux
faces deux fois plus long et doublement
tordu. L’explication tient du fait que le
découpage suit par deux fois le ruban de
Möbius et les ciseaux demeurent toujours
sur le ruban en suivant le tracé ; en
d’autres mots, le découpage se fait de
« façon continue ». Essayez-le, vous
allez voir !
Faites aller votre imagination !
Le nombre d’expériences que vous
pouvez faire avec un ruban de Möbius
est quasi illimité; faites aller votre
imagination. J’encourage les enseignantes
et les enseignants des écoles à construire
en classe un ruban de Möbius et à inciter
les élèves à réaliser différents découpages
qui leur feront découvrir des propriétés
tout à fait spéciales. C’est un exercice
pédagogique pertinent, intéressant et
amusant qui permet de stimuler l’intérêt
des jeunes pour les mathématiques tout
en les faisant sortir de la routine de la
classe.
